Элементы сопротивления материалов
9. Значение модуля продольной
упругости E, модуля сдвига G и
коэффициента Пуассона m
(при температуре ~ 20 °С)
Материал |
Модули, МПа |
Коэффициент Пуассона, ¸ |
|
E |
G |
||
Сталь | (1,86 ¸ 2,1) · 105 |
(7,8 ¸ 8,3) · 104 |
0,25 - 0,33 |
Чугун: | |||
серый |
(0,78 ¸ 1,47) · 105 |
4,4 · 104 |
0,23 - 0,27 |
серый модифицированный |
(1,2 ¸ 1,6) · 105 |
(5 ¸ 6,9) · 104 |
- |
Медь техническая | (1,08 ¸ 1,3) · 105 |
4,8 · 104 |
- |
Бронза: | |||
оловянная |
(0,74 ¸ 1,22) · 105 |
- |
0,32 - 0,35 |
безоловянная |
(1,02 ¸ 1.2) · 105 |
- |
- |
Латунь алюминиевая | (0,98 ¸ 1,08) · 105 |
(3,6 ¸ 3,9) · 104 |
0,32 - 0,34 |
Алюминиевые сплавы | (0,69 ¸ 0,705) · 105 |
2,6 · 104 |
0,33 |
Магниевые сплавы | (0,4 ¸ 0,44) · 105 |
- |
0,34 |
Никель технический | 2,5 · 105 |
7,35 · 104 |
0,33 |
Свинец технический | (0,15 ¸ 0,2) · 105 |
0,7 · 104 |
0,42 |
Цинк технический | 0.78 · 105 |
3,2 · 104 |
0,27 |
Кладка из кирпича | (0,24 ¸ 0,3) · 104 |
- |
- |
Бетон (при временном сопротивлении) (1 - 2 МПа) | (1,48 ¸ 2,25) · 104 |
- |
0,16 - 0,18 |
Железобетон обычный: | |||
сжатые элементы |
(1,8 ¸ 4,2) · 104 |
- |
- |
изгибаемые элементы |
(1,07 ¸ 2,64) · 104 |
- |
- |
Древесина всех пород: | |||
вдоль волокон |
(8,8 ¸ 15,7) · 104 |
(4,4 ¸ 6,4) · 102 |
- |
поперек волокон |
(3,9 ¸ 9,8) · 104 |
(4,4 ¸ 6,4) · 102 |
- |
Фанера авиационная 1-го сорта: | |||
вдоль волокон |
12,7 · 103 |
- |
- |
поперек волокон |
6,4 · 103 |
- |
- |
Текстолит (ПТ, ПТК, ПТ-1) | (5,9 ¸ 9,8) · 103 |
- |
- |
Гетинакс | (9,8 ¸ 17,1) · 103 |
- |
- |
Винипласт листовой | 3,9 · 103 |
- |
- |
Стекло | (4,9 ¸ 5,9) · 104 |
(2,05 ¸ 2,25) · 103 |
0,24 - 0,27 |
Органическое стекло | (2,8 ¸ 4,9) · 103 |
- |
0,35 - 0,38 |
Бакелит без наполнителей | (1,96 ¸ 5,9) · 103 |
(6,86 ¸ 20,5) · 102 |
0,35 - 0,38 |
Целлулоид | (1,47 ¸ 2,45) · 103 |
(6,86 ¸ 9,8) · 102 |
0,4 |
Каучук | 0,07 · 104 |
2 · 103 |
- |
Стеклопласт (СВАМ1) вдоль волокон | 3,4 · 104 |
(3,5 ¸ 3,9) · 103 |
- |
Капрон | (1,37 ¸ 1,96) · 103 |
- |
- |
Фторопласт Ф-4 | (4.6 ¸ 8,3) · 103 |
- |
- |
10. Осевые моменты инерции, моменты
сопротивления и радиусы инерции плоских фигур
(Моменты инерции J даны для главных
центральных осей. Радиус инерции i=√(J/F), где F - площадь сечения)
Форма поперечного сечения |
Осевой момент инерции J, см4 |
Момент сопротивления W, см3 |
Радиус инерции i, см |
||||||
Круг
|
Jx=Jy =pd4/64=pr2/4 |
Wx=Wy =pd3/32=pr2/4 |
ix=iy=d/4=r/2 |
||||||
Кольцо
|
Jx=Jy= |
Wx=Wy =pd3(1-c4)/32 |
ix= iy=√(d2 + d12)/4 |
||||||
Тонкостенное кольцо
|
Jx=Jy=pD3s/8 |
Wx=Wy =pD3s/4 |
ix=iy=(D√2)/4=0,353D |
||||||
Полукруг
|
Jx=0,0068d4»0,110r4 |
Mx=-Mz/l (0 £
z £
a) |
ix=imin»0,132d |
||||||
Круговой сегмент
|
Ju=Sr3/8 - r4sinacosa/8 |
Wx=Jx/(r - v0) |
imin=ix=√(Jx/F) |
||||||
Круговой сектор
|
Ju=r4/8 (pao/180o
+ sina) |
tx= (r/2) √(1 + sina/a0
* 1800/p -
(64sina/2)
/ |
|||||||
Круговое полукольцо
|
Jx=0,11(r4 - r14)
- |
Wx=Jx/(r - v0) |
ix=√(Jx/F) |
||||||
Сектор кругового кольца
|
Ju=(r4 - r14)(pao/180o
+ sina)/8 |
ix=√(Jx/F) |
|||||||
Профиль с симметричными закруглениями
|
Jx = bd3/12 + pd4/64 |
Wx = bd2/6 + pd3/32 |
|||||||
Эллипс
|
Jx = pab3/4
»
0,7854 ab3 |
Wx = pab2/4
»
0,7854 ab2 |
ix=b/2 |
||||||
Квадрат
|
Jx =Jy =b4/12 |
Wx =Wy =b3/6 |
ix=iy=b/√12=0,289b |
||||||
Полый квадрат
|
Jx =Jy =(b4- b14)/12 |
Wx =Wy =(b4- b14)/6b |
ix=iy=0,289b√(b2+b12) |
||||||
Полый тонкостенный квадрат
|
Jx =Jy =2B3 s/3 |
Wx =Wy =4B2 s/3 |
ix=iy=B√6=0,408B |
||||||
Квадрат, поставленный на ребро
|
Jx =Jy =b4/12 |
Wx= Wy=
(√2b3)/12 = |
ix=iy=0,289b |
||||||
Полый квадрат, поставленный на ребро
|
Jx =Jy =(b4- b14)/12 |
Wx= Wy= |
ix=iy=0,289√(b2+b12) |
||||||
Прямоугольник
|
Jx =ba3/12
|
Wx =ba2/6
|
ix=B√12=0,289a
|
||||||
Прямоугольник повернутый
|
Jz=ba (a2cos2a + b2sin2a)/12 |
Wz=ba (a2cos2a + b2sin2a)/(6(acosa + bsina)) |
ix=0,289√(b2cos2a+b2sin2a) |
||||||
Полый прямоугольник
|
Jx = (ba3 - b1a13)/12 |
Wx = (ba3 - b1a13)/6a |
ix=√((ba3-b1a13)/ |
||||||
Полый тонкостенный прямоугольник
|
Jx = sH3(3B/H +1)/6 |
Wx = sH2(3B/H +1)/3 |
ix = 0,289H √((3B/H +1)/ |
||||||
Сечение из двух равных прямоугольников
|
Jx = b(h3 - h13)/12 |
Wx = b(h3 - h13)/6h |
ix = √((h2+hh1+h12)/12)
= |
||||||
Треугольник
|
Jx = bh3/36 |
При вычислении напряжения в
вершине треугольника Wx=bh2/24 |
ix=h/3√2=0,236h |
||||||
Поставленный на ребро треугольник
|
Jx = hb3/48 |
Jx = hb2/24 |
ix = (b√(3/2))/6 = 0,204b |
||||||
Трапеция
|
Jx=h3(b2 + 4ba +a2)/(36(b+a)) |
При вычислении напряжений в
точках верхнего основания |
ix = (h√(2(b2 + 4ba + a2))) |
||||||
Трапеция
|
Jx=h3(b4 - a4)/(48(b-a)) |
Wx=h(b4 - a4)/(24(b2-ba)) |
ix = √((b2 + a2)/24) |
||||||
Тавр
|
Jx=(bh13+ b1h3)/12
+ bh1(v0 -h1/2)2 + hb1(h/2
+ h1- v0 )2 |
Для нижних волокон |
ix = √(Jx/F) |
||||||
Корытное сечение
|
Jx=(bh13+ 2b1h3)/12
+ bh1(v0 -h1/2)2 + 2hb1(h/2
+ h1- v0 )2
|
Wx=Jx/ (h+h1-v0) |
ix=√(Jx/F) |
||||||
Крестообразное сечение
|
Jx=(b1h3+ (b-b1)h13)/12 |
Wx=(h1b3+ (b-b1)h3)/6h |
ix=√(Jx/F) |
||||||
Правильный шестиугольник
|
Jx =J y=0,06h4 |
Wx =0,12h3=0,625a3 |
ix=iy=0,4565a=0,257h |
||||||
Правильный восьмиугольник
|
Jx=Jy=Jx1=Jy1=0,0547h4 |
Wx1 =Wy1 =0,1095h3 |
ix=ix1=0,257h |
Геометрические характеристики
жесткости и прочности для ходовых сечений при
кручении прямого бруса
Форма поперечного сечения бруса |
Осевой момент инерции JK, см4 |
Момент сопротивления WK, см3 |
Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение t=MK/WK |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Круглое
|
Jk=Jp= pd4/32»0,1d4 |
Wk=Wp= pd3/16»0,2d3 |
Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кольцо
|
Jk=Jp= pd4(1-a4)/32 |
Wk=Wp= pd3/16»(1-a4) |
Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тонкостенное кольцо
|
Jk=pd3s/4 |
Цk= pd2s/2 |
Все точки находятся в одинаковых условиях (приближенно) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Незамкнутое тонкостенное кольцо
|
Jk=pd3s/3 |
Jk=pd2s/3 |
Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение t=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Круглое сечение с лыской
|
Jk=d4(2,6h/d - 1)/16 |
|
Наибольшее напряжение возникает в середине плоского среза (точка А). В узлах t=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Круглое с круговым вырезом
|
Jk=K1R4 |
Jk=R3/K2 |
Наибольшее напряжение возникает по дну канавки (точка А) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сплошное эллиптическое
|
Jk=pn3b4/(n2+1) |
Wk=pnb3/2 |
Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение t=tмах/n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямоугольное
|
Jk=bhb3 |
Wk=ahb2 |
Наибольшее напряжение
возникает в серединах длинных сторон
сечения (в точках А), в точках В
напряжение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правильный шести- или восьмиугольник
|
Jk= K'h2F |
Wk= KhF |
Наибольшие напряжения возникают в середине сторон. В углах t=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Равносторонний треугольник
|
Jk= b4/46,19 = h4/25,98 |
Wk= 0,0053 b3=h3/12,99 =2Jx/h |
Наибольшие напряжения возникают в середине сторон. В углах t=0 |
12. Расчетные данные для типовых балок постоянного сечения
В таблице приведены: реакции A, МA (левой опоры) и B, MB (правой опоры), выражение изгибающего момента Мx = Мx(z) в произвольном сечении с координатой z (начало координат совпадает с центром тяжести левого торца балки - см схему 1), наибольший изгибающий момент Мxmax, уравнение упругой линии v = v(z); значения наибольшего прогиба vmax и углов поворота q1 и q1 соответственно крайнего левого сечения и крайнего правого сечения балки в радианах.
Для каждой балки представлены форма упругой линии и эпюра изгибающих моментов
Внешние нагрузки обозначены: М - момент в вертикальной плоскости, совпадающей с осью бруса z; P - сосредоточенная сила и q - интенсивность распределенной нагрузки, действующие в той же плоскости; Е - модуль продольной упругости; Jx - осевой момент инерции поперечного сечения относительно оси x.
Схема закрепления балки, форма упругой линии, эпюра изгибающих моментов |
Реактивные силы и моменты опор |
Изгибающий момент в произвольном сечении, наибольший изгибающий момент |
Уравнение упругой линии, наибольший прогиб, углы поворота крайних сечений балки |
Схема 1
|
MA=M |
Mx=M |
v=Mz/2EJ |
Схема 2
|
A=P |
Mx=P(z-1) |
v=P(z3/3 - lz2)/2EJx |
Схема 3
|
A=ql |
Mx=q(lz-(l2+z2)/2) |
v=q(2lz3 - 3l2z2
- z4/2) |
Схема 4
|
A=B+M/l |
Mx=-Mz/l (0 £
z £
a) |
v=M [-z3 /3l + (z-a)2
+ (2a - 2l/3 - a2/l)z] / 2EJx |
Схема 5
|
A=P(l-a)/l |
Mx=P(l-a)z/l |
v = P/6EJx * [((l-a)z3)/l - (z - a3)
+((l-a)3z)/l- (l - a)lz] |
Схема 6
|
A=B=ql/2 |
Mx=qz(l-z)/2 |
v=a [2lz3 - z4
- l3z] / 24EJx |
Схема 7
|
A=B=M/l |
Mx=- Mz/l |
v=M [lz - z3/l - (z-l)3/l]/6EJx |
Схема 8
|
A=Pa/l |
Mx=- Paz/l |
v=P [alz - az3/l + (a+l)(z-l)3/l]/6EJx |
Схема 9
|
A=qa2/2l |
Mx=- qa2z/2l |
v = q / 24EJx[a2lz - a2z3/l +
2(2a2/l +a)(z -l)3-(z-l)4/2]
|
Схема 10
|
A=B=3Ma(2l-a)/2l3 |
Mx=- Az+ MA |
v = M/EJx[(-a(2l - a)z3)/4l3 |
Схема 11
|
A=11P/16 |
Mx=P(11z-3l)/16 |
|
Схема 12
|
A=5ql/8 |
Mx=ql(5z/8 -l/8 -z2/2l) |
|
Схема 13
|
A=B=3M/2l |
Mx=M(1-6z/l)/4 |
v=M [z2/2 - z3/l+2(z-l/2)2]/4EJx |
Схема 14
|
A=B=P/2 |
Mx=P(z/2-l/8) |
v=P (4z3 - 3lz3)/48EJx |
Схема 15
|
A=B=ql/2 |
Mx=ql2(z-1/6 -z2/l2)/2 |
v =-qz2 (1-z)2/24EJx |
Схема 16
|
A=3Pa/2l |
Mx=Pa(1-3z/l)/2 |
|